Родился в посёлке Шатки Горьковской области. Окончил среднюю общеобразовательную школу № 1 (п. Шатки). Призван в ряды Вооружённых Сил СССР. Рядовой 2-го взвода 1-й роты Ташкентского 38-го оперативного полка внутренних войск Паршин погиб при исполнении воинского долга в районе села Сейсулан во время сопровождения трактора с армянскими сельхозрабочими, в ходе вооружённого конфликта в Нагарно-Карабахской АО. Похоронен в Шатках на Старом поселковом кладбище. Память: на здании средней общеобразовательной школы № 1 (р.п. Шатки), где учился воин, установлена мемориальная доска. Именем Анатолия Паршина названа одна из улица рабочего посёлка Шатки.